Алексей Иванович Воевода родился 9 мая 1980 г. в селе Калиновица Варвинского района Черниговской области Украины.
С пятилетнего возраста вместе с семьей проживал в Сочи.
В детстве занимался каратэ, тхэквондо, джиу-джитсу, борьбой и гимнастикой.
В середине 1990-х - начале 2000-х гг. сменил ряд профессий: работал барменом, грузчиком, инкассатором, сборщиком компьютеров, программистом, официантом, телохранителем, юристом по оформлению грузовых поставок и др.
1999 г. - одержал победу на конкурсе по армрестлингу "Железная рука города Сочи", одолев, среди прочих, чемпиона Европы Котэ Размадзе. После этого приступил к систематическим занятиям данным видом борьбы, тренером Воеводы стал Размадзе. В 2000 г. выиграл чемпионат мира по армрестлингу. Впоследствии дважды повторил это достижение.
Двукратный олимпийский чемпион (2014, Сочи - в "двойке" с Александром Зубковым и в "четверке" с Александром Зубковым, Алексеем Негодайло и Дмитрием Труненковым), обладатель серебряной (2006, Турин, Италия - в "четверке" в Александром Зубковым, Филиппом Егоровым и Алексеем Селиверстовым) и бронзовой (2012, Ванкувер, Канада - в "двойке" с Александром Зубковым) олимпийских медалей, чемпион мира (2011, Кенигсзее, Германия) и двукратный чемпион Европы (2008, Чезана, Италия; 2011, Винтерберг, Германия) в "двойке" с Александром Зубковым.
Завершил карьеру бобслеиста в 2015 г., работал в ГБУ Краснодарского края "Центр спортивной подготовки по зимним видам спорта", занимал должность начальника сборных команд Краснодарского края.
В апреле 2010 г. вместе с Александром Зубковым адресовал президенту РФ Дмитрию Медведеву письмо, в котором призвал отправить в отставку руководство Федерации бобслея России. В сентябре того же года намеревался принять участие в выборах членов президиума Федерации бобслея России, однако ему было отказано в регистрации в качестве кандидата.
По данным СМИ, в июне 2016 г. бывший глава антидопинговой лаборатории в Москве Григорий Родченков сообщил Всемирному антидопинговому агентству, что в 2014 г. во время Олимпиады в Сочи Воевода якобы употреблял допинг. Спортсмен опроверг эту информацию, а также заявил, что "в Сочи была самая чистая, самая "белая" Олимпиада". Впоследствии был дисквалифицирован Международной федерацией бобслея и скелетона за нарушение антидопинговых правил на Олимпиаде в Сочи (срок отстранения - с 21 декабря 2018 г. по 20 декабря 2020 г.).
4 декабря 2011 г. баллотировался в Государственную думу РФ VI созыва по списку "Единой России" (№19, региональная группа №25, Краснодарский край). В Думу не прошел
В 2016-2021 гг. - депутат Государственной думы РФ VII созыва.
Баллотировался 18 сентября 2016 г. по списку "Единой России" (№ 8 в региональной группе №33, Краснодарский край). По итогам голосования в Думу не прошел.
28 сентября 2016 г. - получил мандат Владимира Порханова (№ 3 региональной группы №33), после выборов отказавшегося от места в Думе.
Член партии "Единая Россия".
Вице-президент федерации армрестлинга России.
Заслуженный мастер спорта России по армрестлингу (2004) и бобслею (2006).
Государственные награды:
орден "За заслуги перед Отечеством" IV степени (2014)
медаль ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени (2010).
Региональные награды:
Герой Труда Кубани
Почетный гражданин г. Сочи (2010)
Прочие награды:
Лауреат премии "Серебряная лань" Федерации спортивных журналистов России (2014)